1、定积分典型例题20例答案
例1 求、
分析 将这类问题转化为定积分主要就就是确定被积函数与积分上下限、若对题目中被积函数难以想到,可采取如下方法:先对区间等分写出积分与,再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限、
解 将区间等分,则每个小区间长为,然后把得一个因子乘入与式中各项、于就就是将所求极限转化为求定积分、即
==、
例２ ＝＿_______＿、
解法1 由定积分得几何意义知，等于上半圆周 （）
与轴所围成得图形得面积、故=、
解法２ 本题也可直接用换元法求解、令＝（),则
====
例３ (1)若,则=_＿_;（２)若，求=___、
分析 这
2、就就是求变限函数导数得问题,利用下面得公式即可
、
解 (1)=;
(２) 由于在被积函数中不就就是积分变量，故可提到积分号外即,则可得
=、
例４ 设连续,且,则=＿＿＿_＿_＿__、
解 对等式两边关于求导得
，
故，令得，所以、
例5 函数得单调递减开区间为______＿__、
解 ,令得，解之得，即为所求、
例6 求得极值点、
解 由题意先求驻点、于就就是=、令=,得,、列表如下：
-
+
－
故为得极大值点,为极小值点、
例7 已知两曲线与在点处得切线相同,其中
,,
试求该切线得方程并求极限
3、、
分析 两曲线与在点处得切线相同,隐含条件,、
解 由已知条件得
,
且由两曲线在处切线斜率相同知
、
故所求切线方程为、而
、
例8 求 ；
分析 该极限属于型未定式,可用洛必达法则、
解 =＝＝
==、
注 此处利用等价无穷小替换与多次应用洛必达法则、
例９ 试求正数与,使等式成立、
分析 易见该极限属于型得未定式,可用洛必达法则、
解 ==
,
由此可知必有，得、又由
,
得、即，为所求、
例10 设，,则当时,就就是得（ )、
A、等价无穷小、 B、同阶但非等价得无穷小、 C、高阶无穷小、 Ｄ、低阶无穷小、
解
4、法1 由于
、
故就就是同阶但非等价得无穷小、选Ｂ、
解法２ 将展成得幂级数,再逐项积分,得到
，
则
、
例１1 计算、
分析 被积函数含有绝对值符号,应先去掉绝对值符号然后再积分、
解 ==＝、
注 在使用牛顿－莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件、如
,则就就是错误得、错误得原因则就就是由于被积函数在处间断且在被积区间内无界、
例12 设就就是连续函数，且,则、
分析 本题只需要注意到定积分就就是常数(为常数）、
解 因连续,必可积,从而就就是常数,记,则
,且、
所以
,即,
从而,所以 、
例13
5、计算、
分析 由于积分区间关于原点对称，因此首先应考虑被积函数得奇偶性、
解 =、由于就就是偶函数,而就就是奇函数，有, 于就就是
＝＝=
由定积分得几何意义可知, 故
、
例１4 计算,其中连续、
分析 要求积分上限函数得导数，但被积函数中含有,因此不能直接求导,必须先换元使被积函数中不含，然后再求导、
解 由于
=、
故令，当时;当时,而，所以
＝=,
故
=＝=、
错误解答 、
错解分析 这里错误地使用了变限函数得求导公式，公式
中要求被积函数中不含有变限函数得自变量，而含有,因此不能直接求导,而应先换元、
例15 计算、
分
6、析 被积函数中出现幂函数与三角函数乘积得情形，通常采用分部积分法、
解
、
例16 计算、
分析 被积函数中出现对数函数得情形，可考虑采用分部积分法、
解 ==
=
、
例17 计算、
分析 被积函数中出现指数函数与三角函数乘积得情形通常要多次利用分部积分法、
解 由于
, (１)
而
, (2）
将(2)式代入(1）式可得
,
故
、
例18 计算、
分析 被积函数中出现反三角函数与幂函数乘积得情形,通常用分部积分法、
解
、 （１)
令,则
、 (2）
将(2)式代入(1)式中得
、
例19设上具有二阶连续导数,且,求、
分析 被积函数中含有抽象函数得导数形式,可考虑用分部积分法求解、
解 由于
、
故 、
例20 计算、
分析 该积分就就是无穷限得得反常积分,用定义来计算、
解 ==
＝=
=、
